Нормальный закон распределения

Обычный закон рассредотачивания (нередко именуемый законом Гаусса) играет только важную роль в теории вероятностей и занимает посреди других законов рассредотачивания особенное положение. Основная особенность, выделяющая обычный закон посреди других законов, заключается в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы рассредотачивания.

Обычный закон рассредотачивания характеризуется плотностью вероятности Нормальный закон распределения вида:

.

Кривая рассредотачивания по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид. Наибольшая ордината кривой, равная , соответствует точке x=m; по мере удаления от точки m плотность рассредотачивания падает, и при x→±∞ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. При этом m соответствует математическому ожиданию, а σ – среднему квадратическому отклонению случайной величины.

рис.5

Параметр Нормальный закон распределения σ охарактеризовывает не положение, а форму кривой рассредотачивания. Большая ордината кривой рассредотачивания назад пропорциональна σ; при увеличении σ наибольшая ордината миниатюризируется. Потому что площадь кривой рассредотачивания всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая рассредотачивания становится более плоской, растягиваясь повдоль оси абсцисс; и напротив, сжимается при уменьшении σ.

Зная σ и m можно Нормальный закон распределения приблизительно указать интервал вероятных значений случайной величины. Таковой метод оценки спектра вероятных значений случайной величины именуется «правилом 3-х сигм». Суть этого правила заключается в том, что если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отличия от математического ожидания не превосходит тройного среднего квадратического отличия.

Очевидно, этот Нормальный закон распределения твердый прием может быть рекомендован, только если нет других, более четких методов определения σ.

Главные понятия теории случайных функций.

Ограничиваясь рассмотрением отдельных случайных величин, мы и изучали случайные явления вроде бы в «статике». Но таковой подход к исследованию случайных явлений в ряде практических задач является очевидно недостающим. На практике нередко Нормальный закон распределения приходиться иметь дело со случайными величинами, безпрерывно изменяющимися в определенном процессе. Такие изменяющиеся случайные величины будем именовать случайными функциями.

Случайной функцией именуется функция, которая в итоге опыта может принять тот либо другой определенный вид, непонятно заблаговременно – какой конкретно.

По другому, случайной функцией именуют функцию неслучайного аргумента t, которая при Нормальный закон распределения каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают строчными знаками X(t), Y(t) и т.д.

Ради сокращенности предстоящего изложения введем понятие сечения.

Разглядим некую случайную функцию X(t). Представим, что над ней произведено n независящих опытов, в итоге которых получено n реализаций.

Рис Нормальный закон распределения.6

Обозначим их соответственно номеру опыта x1(t), x2(t),…, xn(t).

Любая реализация, разумеется, есть рядовая (неслучайная) функция. Таким макаром, в итоге каждого опыта случайная функция X(t) преобразуется в обыденную, неслучайную функцию.

Зафиксируем сейчас некое значение аргумента t и поглядим, во что перевоплотится при всем этом случайная функция X(t). Разумеется Нормальный закон распределения, она перевоплотится в случайную величину – сечение случайной функции.

Сечением случайной функции именуют случайную величину, подобающую фиксированному значению аргумента случайной функции.

Определенный вид, принимаемый случайной функцией в итоге опыта, именуется реализацией случайной функции.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупа ее вероятных реализаций.

По собственному определению, случайные функции могут Нормальный закон распределения зависеть как от 1-го аргумента, так и от нескольких. К примеру, свойства прочности неоднородного стержня, температура воздуха в разных слоях атмосферы, аэрологические данные и т.п.

Разглядим некую случайную функцию X(t) на определенном отрезке времени и попытаемся ответить на вопрос: что должен представлять собой закон рассредотачивания случайной Нормальный закон распределения функции?

Что касается закона рассредотачивания случайной функции, который представляет собой функцию бессчетного огромного количества аргументов, то таковой закон в наилучшем случае можно чисто формально записать в какой-нибудь символической форме; практическое же использование схожей чертой, разумеется, совсем исключено.

Можно, но, для случайной функции выстроить некие вероятностные свойства, подобные законам рассредотачивания. Мысль Нормальный закон распределения построения этих черт заключается в последующем.

Случайная величина X(t) – сечение случайной функции в момент времени t обладает законом рассредотачивания, который в общем случае находится в зависимости от t.

Рис.7

Обозначим его f(x,t). Функция f(x,t) именуется одномерным законом рассредотачивания случайной функции X(t Нормальный закон распределения).

Разумеется, функция f(x,t) не является полной исчерпающей чертой случайной функции X(t). Потому рассматривают более полную характеристику случайной функции X(t) так именуемый двумерный закон рассредотачивания: .

Это - закон рассредотачивания системы 2-ух случайных величин X(t1), X(t2), т.е. 2-ух случайных сечений случайной функции X(t). Но Нормальный закон распределения, и эта черта в общем случае не является исчерпающей; еще больше полной чертой был бы трехмерный закон:

.

Разумеется, на теоретическом уровне можно неограниченно наращивать число аргументов и получать при всем этом более подробную и исчерпающую характеристику случайной функции. Но это очень громоздко и неловко.

Потому ограничимся рассмотрением простых Нормальный закон распределения черт случайных функций, подобных числовым чертам случайных величин, которые представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции X(t) определяется последующим образом. Разглядим сечение случайной функции X(t) при фиксированном t. В этом сечении мы имеем обыденную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Разумеется Нормальный закон распределения, в общем случае оно находится в зависимости от t, т.е. представляет собой некую функцию t: mx(t) = M[X(t)].

Таким макаром, математическим ожиданием случайной функции X(t) именуется неслучайная функция mx(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответственного сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание Нормальный закон распределения случайной функции есть некая средняя функция, около которой разным образом варьируются определенные реализации случайной функции.

Рис.8

Геометрически математическое ожидание случайной функции можно объяснить как «среднюю кривую», около которой размещены другие кривые – реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого размещены Нормальный закон распределения его вероятные значения (ординаты).


normativi-rabochego-vremeni-v-rf-vidi-i-normativi-vremeni-otdiha-trudovoj-dogovor-sroki-zaklyucheniya.html
normativi-rezervnih-trebovanij.html
normativi-zagryazneniya-atmosfernogo-vozduha.html