Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис

Обычное уравнение прямой имеет вид

,

где длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, угол наклона этого перпендикуляра к оси . Чтоб привести общее уравнение прямой к нормальному виду, необходимо обе части равенства (12) помножить на нормирующий множитель , взятый со знаком обратным знаку свободного члена .

Расстояние точки от прямой найдём по формулам

либо

. (9)

Уравнение биссектрис углов меж Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис прямыми и :

.

Задачка 16. Дана ровная . Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой.

Решение. По условию параллельности прямых . Для решения задачки будем использовать уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (8):

.

Найдём угловой коэффициент данной прямой. Для этого от общего уравнения прямой (5) перейдём к уравнению с угловым коэффициентом (6) (выразим Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис через ):

.

Как следует, .

Тогда .

Задачка 17. Отыскать точку , симметричную точке , относительно прямой .

Решение. Для того, чтоб отыскать точку симметричную точке относительно прямой (Рис.7) нужно:

1) опустить из точки на прямую перпендикуляр,

2) отыскать основание этого перпендикуляра точку ,

3) на продолжении перпендикуляра отложить отрезок .

Итак, запишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис прямой. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (8):

.

Подставим координаты точки :

. (11)

Угловой коэффициент найдём из условия перпендикулярности прямых:

.

Угловой коэффициент данной прямой

,

как следует, угловой коэффициент перпендикулярной прямой

.


Подставим его в уравнение (11):

.

Дальше, найдём точку точку скрещения данной прямой и ей перпендикулярной прямой. Потому что точка Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис принадлежит обеим прямым, то её координаты удовлетворяют их уравнениям. Означает, для отыскания координат точки скрещения требуется решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых:

Решение системы , , т. е. .

Точка является серединой отрезка , тогда из формул (4):

, ,

найдём координаты точки :

, .

Таким макаром, разыскиваемая точка .

Задачка 18.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150 кв.ед. (Рис.8).

Решение. Для решения задачки будем использовать уравнение прямой «в отрезках» (7):

. (12)

Потому что точка лежит на разыскиваемой прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой:

.

Площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла рассчитывается по формуле Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис:

(записан модуль, потому что и могут быть отрицательными).


Таким макаром, получили систему для отыскания характеристик и :

Эта система равносильна двум системам:

Решение первой системы , и , .

Решение 2-ой системы , и , .

Подставим отысканные значения в уравнение (12):

, , , .

Запишем общие уравнения этих прямых:

, , , .

Задачка 19. Вычислить расстояние меж параллельными прямыми и .

Решение. Расстояние меж параллельными прямыми равно Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис расстоянию случайной точки одной прямой до 2-ой прямой.

Выберем на прямой точку произвольно, как следует, можно задать одну координату, т. е. к примеру , тогда .

Сейчас найдём расстояние точки до прямой по формуле (10):

.

Рис. 1.8.
Таким макаром, расстояние меж данными параллельными прямыми равно .

Задачка 20. Отыскать уравнение прямой, проходящей Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис через точку скрещения прямых и (не находя точки скрещения) и

1) проходящей через точку ;

2) параллельной прямой .

Решение. 1) Запишем уравнение пучка прямых с известными образующими (9):

.

Тогда разыскиваемая ровная имеет уравнение

. (13)

Требуется отыскать такие значения и , при которых ровная пучка пройдёт через точку , т. е. её координаты должны удовлетворять уравнению (13):

.

Отсюда

.

Подставим отысканное в уравнение (13) и после Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис упрощении получим разыскиваемую прямую:

.

2) По условию задачки разыскиваемая ровная параллельна прямой

.

Воспользуемся условием параллельности прямых: . Найдём угловые коэффициенты прямых и . Имеем, что , .

Как следует,

.

Подставим отысканное значение в уравнение (13) и упростим, получим уравнение разыскиваемой прямой .


normativnaya-tablica-8-faktorov.html
normativnie-akti-i-materiali-sudebnoj-praktiki-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline.html
normativnie-akti-informacionnij-byulleten-administracii-sankt-peterburga-16-717-9-maya-2011-g.html